4. Докажите, что противоположные стороны и углы параллелограмма равны.

Пусть ABCD — параллелограмм. Проведём диагональ AC.

1. Так как AB ∥ CD, то ∠BAC = ∠DCA (накрест лежащие углы).
2. Так как BC ∥ AD, то ∠BCA = ∠DAC (накрест лежащие углы).
3. AC — общая сторона треугольников ABC и CDA. Следовательно, треугольники равны по стороне и двум прилежащим к ней углам.
4. Из равенства треугольников следует, что AB = CD и BC = AD, а также равны соответствующие углы: ∠B = ∠D и ∠BAC + ∠DAC = ∠BCA + ∠DCA, откуда ∠A = ∠C.

Доказано: противоположные стороны и противоположные углы параллелограмма равны.