4. Докажите, что ромб является квадратом, если его сторона образует с диагоналями равные углы.

Рассмотрим ромб ABCD. Пусть сторона AB образует с диагоналями AC и BD равные углы:

\(\angle BAC=\angle ABD\).

Диагонали ромба делят углы пополам, поэтому \(\angle BAC\) — половина угла A, а \(\angle ABD\) — половина угла B. Следовательно, \(\angle A=\angle B\).

Соседние углы параллелограмма в сумме дают \(180^\circ\), значит:

\[\angle A+\angle B=180^\circ.\]

Так как эти углы равны, каждый из них равен \(90^\circ\). Следовательно, ромб является прямоугольником. Ромб, являющийся прямоугольником, имеет все стороны равными и все углы прямыми, то есть является квадратом.

Что и требовалось доказать.