4. Докажите, что в равнобокой трапеции диагонали равны.

Пусть \(ABCD\) — равнобокая трапеция, где \(AB\parallel CD\), а боковые стороны \(AD=BC\). Проведём высоты из \(D\) и \(C\) к прямой \(AB\); обозначим их основания соответственно \(E\) и \(F\).

1. Четырёхугольники \(AEFD\) и \(EBCF\) — прямоугольники, поэтому \(AE=DF\), \(EF=DC\) и \(EB=FC\).
2. Так как \(AD=BC\), а высоты \(DE=CF\), прямоугольные треугольники \(ADE\) и \(BCF\) равны по гипотенузе и катету. Следовательно, \(AE=BF\).
3. Из равенств \(AE=DF\) и \(EB=FC\) получаем \(AB=AE+EF+FB=DF+EF+FC=DC+2DF\). Также отрезки, образующие проекции боковых сторон на основание, равны: \(AE=FB\). Поэтому горизонтальные проекции диагоналей \(AC\) и \(BD\) равны, а их вертикальные составляющие равны высоте трапеции.
4. По теореме Пифагора диагонали имеют равные квадраты длины: \(AC^2=AF^2+DE^2\), \(BD^2=BE^2+CF^2\). Здесь \(AF=AE+EF\), \(BE=BF+FE\); из \(AE=BF\) следует \(AF=BE\), а \(DE=CF\). Значит, \(AC^2=BD^2\), откуда \(AC=BD\).

Следовательно, диагонали равнобокой трапеции равны.