4. Докажите, что выражение (a² − 3)/(a − 2)⁴ − (5a − 1)/(a − 2)⁴ + (a + 6)/(a − 2)⁴ при a ≠ 2 равно 1/(a − 2)².

Приведём дроби к общему знаменателю и сложим числители:

\(\frac{a^2-3-(5a-1)+(a+6)}{(a-2)^4}=\frac{a^2-4a+4}{(a-2)^4}\).

Числитель раскладывается на квадрат двучлена: \(a^2-4a+4=(a-2)^2\). Поскольку \(a\ne2\), можно сократить на \((a-2)^2\): \(\frac{(a-2)^2}{(a-2)^4}=\frac{1}{(a-2)^2}\).

Следовательно, равенство доказано.