4. Докажите, что значение выражения $$ \left( \frac{4a - 8}{a^2 - a - 6} + \frac{a - 3}{4 - a^2} \right) : \frac{1 - a}{a^2 - 4} + \frac{2}{a - 3} $$не зависит от значения переменной.

Решение:

Цель — упростить данное выражение и показать, что оно не зависит от переменной \(a\).

1. Приведём к общему знаменателю дроби внутри скобок:
   • Знаменатель первой дроби: \( a^2 - a - 6 = (a - 3)(a + 2) \).
   • Знаменатель второй дроби: \( 4 - a^2 = -(a^2 - 4) = -(a - 2)(a + 2) \).
   • Общий знаменатель для скобки: \( (a - 3)(a + 2)(a - 2) \).
   • Преобразуем вторую дробь: \( \frac{a - 3}{4 - a^2} = \frac{a - 3}{-(a - 2)(a + 2)} = -\frac{a - 3}{(a - 2)(a + 2)} \).
   • Теперь сложим дроби в скобках:
     • \( \frac{4a - 8}{(a - 3)(a + 2)} - \frac{a - 3}{(a - 2)(a + 2)} \)
     • Приведём к общему знаменателю \( (a - 3)(a + 2)(a - 2) \):
     • \( \frac{(4a - 8)(a - 2)}{(a - 3)(a + 2)(a - 2)} - \frac{(a - 3)(a - 3)}{(a - 3)(a + 2)(a - 2)} \)
     • Раскроем скобки в числителе:
     • \( (4a - 8)(a - 2) = 4a^2 - 8a - 8a + 16 = 4a^2 - 16a + 16 \)
     • \( (a - 3)(a - 3) = (a - 3)^2 = a^2 - 6a + 9 \)
     • Вычтем числители:
     • \( (4a^2 - 16a + 16) - (a^2 - 6a + 9) = 4a^2 - 16a + 16 - a^2 + 6a - 9 = 3a^2 - 10a + 7 \)
     • Разложим полученный квадратный трёхчлен на множители. Корни \( 3a^2 - 10a + 7 = 0 \) находятся по дискриминанту \( D = (-10)^2 - 4 3 7 = 100 - 84 = 16 \). \( a_{1,2} = \frac{10 \pm 4}{6} \), \( a_1 = \frac{14}{6} = \frac{7}{3} \), \( a_2 = \frac{6}{6} = 1 \).
     • Следовательно, \( 3a^2 - 10a + 7 = 3(a - \frac{7}{3})(a - 1) = (3a - 7)(a - 1) \).
     • Таким образом, выражение в скобках равно: \( \frac{(3a - 7)(a - 1)}{(a - 3)(a + 2)(a - 2)} \).
   • Теперь выполним деление: \( \frac{(3a - 7)(a - 1)}{(a - 3)(a + 2)(a - 2)} : \frac{1 - a}{a^2 - 4} \)
   • Заменим \( 1 - a \) на \( -(a - 1) \) и \( a^2 - 4 \) на \( (a - 2)(a + 2) \):
   • \( \frac{(3a - 7)(a - 1)}{(a - 3)(a + 2)(a - 2)} : \frac{-(a - 1)}{(a - 2)(a + 2)} \)
   • Деление на дробь равно умножению на обратную дробь:
   • \( \frac{(3a - 7)(a - 1)}{(a - 3)(a + 2)(a - 2)} \frac{(a - 2)(a + 2)}{-(a - 1)} \)
   • Сократим одинаковые множители: \( (a + 2) \) и \( (a - 2) \) и \( (a - 1) \) (при \( a
     e 1 \)):
   • \( \frac{3a - 7}{a - 3} \frac{1}{-1} = -\frac{3a - 7}{a - 3} = \frac{7 - 3a}{a - 3} \).
   • Наконец, добавим последнюю дробь: \( \frac{7 - 3a}{a - 3} + \frac{2}{a - 3} \)
   • Приведём к общему знаменателю: \( \frac{7 - 3a + 2}{a - 3} = \frac{9 - 3a}{a - 3} \)
   • Вынесем общий множитель в числителе: \( \frac{3(3 - a)}{a - 3} \)
   • Заменим \( 3 - a \) на \( -(a - 3) \):
   • \( \frac{-3(a - 3)}{a - 3} \)
   • Сократим \( (a - 3) \) (при \( a
     e 3 \)):
   • \( -3 \).

Таким образом, значение выражения равно \(-3\) и не зависит от переменной \(a\).

Ответ: значение выражения равно -3.