4) Докажите: \(h=\frac{a+b}{2}\).

Обозначим координаты вершин симметричной равнобедренной трапеции так: \(A(-\frac b2,0)\), \(D(\frac b2,0)\), \(B(-\frac a2,h)\), \(C(\frac a2,h)\). Такое расположение допустимо, поскольку боковые стороны трапеции равны. Тогда диагональ AC имеет направляющий вектор \((\frac{a+b}{2},h)\), а диагональ BD — вектор \((\frac{a+b}{2},-h)\).

По отметке на рисунке диагонали перпендикулярны, значит скалярное произведение их направляющих векторов равно нулю:

\(\left(\frac{a+b}{2},h\right)\cdot\left(\frac{a+b}{2},-h\right)=0.\)

Отсюда \(\frac{(a+b)^2}{4}-h^2=0\). Так как длины положительны, получаем \(h=\frac{a+b}{2}\).

Что и требовалось доказать.