Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: 4) Докажите: \(h=\frac{a+b}{2}\). На рисунке равнобедренная трапеция \(ABCD\), \(BC\parallel AD\), \(BC=a\), \(AD=b\),…Фото задания

Ответ:

  1. Расположим трапецию в координатной плоскости симметрично относительно вертикальной оси. Тогда можно задать точки: \(A(0,0)\), \(D(b,0)\), \(B\left(\frac{b-a}{2},h\right)\), \(C\left(\frac{b+a}{2},h\right)\). Это следует из равенства боковых сторон и параллельности оснований.
  2. Найдём направляющие векторы диагоналей: \(\overrightarrow{AC}=\left(\frac{a+b}{2},h\right)\), \(\overrightarrow{BD}=\left(\frac{a+b}{2},-h\right)\).
  3. Так как диагонали перпендикулярны, их скалярное произведение равно нулю: \(\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BD}=0\).
  4. Подставим координаты: \(\left(\frac{a+b}{2}\right)^2-h^2=0\). Следовательно, \(h^2=\left(\frac{a+b}{2}\right)^2\). Поскольку длина высоты положительна, \(h=\frac{a+b}{2}\).

Что и требовалось доказать.