4. Докажите признак параллелограмма: а) если в четырёхугольнике противоположные стороны попарно равны, то это — параллелограмм; б) если противоположные углы попарно равны, то это — параллелограмм; в) если диагонали делятся точкой пересечения пополам, то это — параллелограмм; г) если две стороны равны и параллельны, то это — параллелограмм.

Обозначим четырёхугольник через ABCD, а его диагонали — AC и BD.

а) Пусть AB = CD и BC = AD. Проведём диагональ AC. Треугольники ABC и CDA равны по трём сторонам: AB = CD, BC = DA, а AC — общая сторона. Поэтому соответствующие углы равны: ∠BAC = ∠DCA и ∠BCA = ∠DAC. Это накрест лежащие углы при прямых AB и CD, а также BC и AD, значит, AB ∥ CD и BC ∥ AD. Следовательно, ABCD — параллелограмм.

б) Пусть ∠A = ∠C и ∠B = ∠D. Сумма углов четырёхугольника равна 360°, поэтому 2∠A + 2∠B = 360°, откуда ∠A + ∠B = 180°. Углы A и B — внутренние односторонние при прямых AD и BC и секущей AB, значит, AD ∥ BC. Аналогично ∠B + ∠C = 180°, поэтому AB ∥ CD. Следовательно, ABCD — параллелограмм.

в) Пусть диагонали AC и BD пересекаются в точке O, причём AO = OC и BO = OD. В треугольниках AOB и COD: AO = OC, BO = OD, а ∠AOB = ∠COD как вертикальные. Треугольники равны по двум сторонам и углу между ними, поэтому AB = CD. Из равенства соответствующих углов следует AB ∥ CD. Четырёхугольник, у которого одна пара противоположных сторон равна и параллельна, — параллелограмм; значит, ABCD — параллелограмм.

г) Пусть одна пара противоположных сторон, например AB и CD, равна и параллельна: AB = CD и AB ∥ CD. Проведём диагональ AC. Углы BAC и DCA равны как накрест лежащие при параллельных прямых AB и CD; AC — общая сторона. Следовательно, треугольники BAC и DCA равны по двум сторонам и углу между ними. Отсюда ∠BCA = ∠DAC, поэтому BC ∥ AD. Обе пары противоположных сторон параллельны, следовательно, ABCD — параллелограмм.

Ответ: все четыре утверждения являются признаками параллелограмма.