4. Докажите равенство треугольников ABD и ACD, если AB = AC и ∠1 = ∠2. Найдите ∠ABD и ∠ADB, если ∠ACD = 38°, ∠ADC = 102°

Доказательство равенства

По первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними):

1. Дано:
• \[ AB = AC \]
• \[ \angle 1 = \angle 2 \]
2. Рассмотрим
   
   \[ \triangle ABD \]
   
   и
   
   \[ \triangle ACD \].
3. Стороны:
• \[ AB = AC \] (по условию)
• \[ AD = AD \] (общая сторона)
4. Углы:
• \[ \angle BAD = \angle CAD \] (так как
  
  \[ \angle 1 = \angle 2 \], а
  
  \[ \angle 1 \]
  
  и
  
  \[ \angle 2 \]
  
  являются частью этих углов, и
  
  \[ \angle CAD \]
  
  =
  
  \[ \angle 1 \]
  
  ,
  
  \[ \angle BAD \]
  
  =
  
  \[ \angle 2 \])
5. Вывод:
• 
  
  \[ \triangle ABD = \triangle ACD \]
  
  по первому признаку равенства треугольников.

Нахождение углов

Дано:

• \[ \angle ACD = 38^{\circ} \]
• \[ \angle ADC = 102^{\circ} \]
• 
  
  \[ \triangle ABD = \triangle ACD \]
  
  (доказано выше)

Решение:

1. Так как
   
   \[ \triangle ABD = \triangle ACD \], то соответствующие углы равны:
• \[ \angle ABD = \angle ACD = 38^{\circ} \]
• \[ \angle ADB = \angle ADC = 102^{\circ} \]
2. Проверка:
• В
  
  \[ \triangle ACD \]:
  
  \[ \angle CAD + \angle ACD + \angle ADC = 180^{\circ} \]
• \[ \angle CAD + 38^{\circ} + 102^{\circ} = 180^{\circ} \]
• \[ \angle CAD = 180^{\circ} - 140^{\circ} = 40^{\circ} \]
• В
  
  \[ \triangle ABD \]:
  
  \[ \angle BAD = \angle CAD = 40^{\circ} \]
  
  (так как AD - биссектриса, что следует из равенства треугольников
  
  \[ \triangle ABD = \triangle ACD \]
  
  ,
  
  \[ \angle 1 = \angle 2 \]
  
  )
• 
  
  \[ \angle BAD + \angle ABD + \angle ADB = 180^{\circ} \]
• 
  
  \[ 40^{\circ} + 38^{\circ} + 102^{\circ} = 180^{\circ} \]
• 
  
  \[ 180^{\circ} = 180^{\circ} \]
  
  (верно)

Ответ:

• \[ \angle ABD = 38^{\circ} \]
• \[ \angle ADB = 102^{\circ} \]