4. Докажите тождество: a) cosα * sinβ = sin(-α) * cos(-β) + sin(α + β) б) sin 2x * cos 4x + cos 2x * sin 4x = sin 6x

Решение:

а) Докажем тождество:

1. Преобразуем правую часть:
• \[ \sin(-\alpha) = -\sin(\alpha) \]
• \[ \cos(-\beta) = \cos(\beta) \]
2. Подставим полученные выражения в правую часть:
• \[ -\sin(\alpha) \cdot \cos(\beta) + \sin(\alpha + \beta) \]
3. Воспользуемся формулой синуса суммы:
• \[ -\sin(\alpha) \cos(\beta) + (\sin(\alpha) \cos(\beta) + \cos(\alpha) \sin(\beta)) \]
4. Упростим выражение:
• \[ -\sin(\alpha) \cos(\beta) + \sin(\alpha) \cos(\beta) + \cos(\alpha) \sin(\beta) = \cos(\alpha) \sin(\beta) \]
5. Сравниваем с левой частью: \( \cos(\alpha) \sin(\beta) = \cos(\alpha) \sin(\beta) \). Тождество доказано.

б) Докажем тождество:

1. Левая часть представляет собой формулу синуса суммы:
• \[ \sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B \]
2. В данном случае, $$A = 2x$$ и $$B = 4x$$.
3. Подставим значения в формулу:
• \[ \sin(2x + 4x) = \sin(6x) \]
4. Таким образом, левая часть равна правой части: \( \sin(6x) = \sin(6x) \). Тождество доказано.

Ответ: Тождества доказаны.