4. Докажите тождество: \(\frac{1}{x(x+2)}+\frac{1}{(x+2)(x+4)}+\frac{1}{(x+4)(x+6)}+\frac{1}{(x+6)(x+8)}=\frac{4}{x(x+8)}\).

Область допустимых значений: \(x\ne0,-2,-4,-6,-8\).

Используем разложение:

\[\frac{1}{t(t+2)}=\frac12\left(\frac1t-\frac1{t+2}\right).\]

Тогда

\[\begin{aligned}\frac{1}{x(x+2)}+\frac{1}{(x+2)(x+4)}+\frac{1}{(x+4)(x+6)}+\frac{1}{(x+6)(x+8)}\\[2pt]=\frac12\left(\frac1x-\frac1{x+2}+\frac1{x+2}-\frac1{x+4}+\frac1{x+4}-\frac1{x+6}+\frac1{x+6}-\frac1{x+8}\right).\end{aligned}\]

Сокращаем противоположные слагаемые:

\[\frac12\left(\frac1x-\frac1{x+8}\right)=\frac12\cdot\frac{x+8-x}{x(x+8)}=\frac12\cdot\frac8{x(x+8)}=\frac4{x(x+8)}.\]

Ответ: тождество доказано.