4. Докажите тождество: \(\frac{153{,}6-0{,}6p^4}{38{,}4+0{,}6p^3}\cdot\frac{0{,}8p^2-3{,}2p+12{,}8}{0{,}8p^2+12{,}8}\cdot\frac1{4-p}=1\).

Разложим многочлены на множители:

\(153.6-0.6p^4=0.6(256-p^4)=0.6(4-p)(4+p)(p^2+16)\).

\(38.4+0.6p^3=0.6(64+p^3)=0.6(p+4)(p^2-4p+16)\).

Также \(0.8p^2-3.2p+12.8=0.8(p^2-4p+16)\), а \(0.8p^2+12.8=0.8(p^2+16)\). Подставим разложения и сократим общие множители:

\[\frac{0.6(4-p)(4+p)(p^2+16)}{0.6(p+4)(p^2-4p+16)}\cdot\frac{0.8(p^2-4p+16)}{0.8(p^2+16)}\cdot\frac1{4-p}=1.\]

Сокращение допустимо при \(p\ne4\) и \(p\ne-4\); остальные сокращаемые множители действительны и ненулевые для вещественного \(p\). Следовательно, тождество верно при допустимых значениях \(p\).