4. Докажите тождество: $\frac{8-0,5y^4}{4+0,5y^3}\cdot\frac{0,5y^2-y+2}{0,5y^2+2}\cdot\frac{1}{2-y}=1$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 4. Докажите тождество: $\frac{8-0,5y^4}{4+0,5y^3}\cdot\frac{0,5y^2-y+2}{0,5y^2+2}\cdot\frac{1}{2-y}=1$.$ Фото задания

4. Докажите тождество: $\frac{8-0,5y^4}{4+0,5y^3}\cdot\frac{0,5y^2-y+2}{0,5y^2+2}\cdot\frac{1}{2-y}=1$.

Accepted Answer

Разложим числители и знаменатели на множители:

$8-0,5y^4=0,5(2-y)(2+y)(y^2+4)$, поскольку $16-y^4=(4-y^2)(4+y^2)$.

$4+0,5y^3=0,5(y+2)(y^2-2y+4)$, так как $y^3+8=(y+2)(y^2-2y+4)$.

Также $0,5y^2-y+2=0,5(y^2-2y+4)$ и $0,5y^2+2=0,5(y^2+4)$. Тогда

\[\frac{(2-y)(y+2)(y^2+4)}{(y+2)(y^2-2y+4)}\cdot\frac{y^2-2y+4}{y^2+4}\cdot\frac{1}{2-y}=1.\]

Сокращение допустимо при $y\ne-2$ и $y\ne2$: при этих значениях исходное выражение не определено. Следовательно, равенство верно для всех допустимых значений $y$.

4. Докажите тождество: \(\frac{8-0,5y^4}{4+0,5y^3}\cdot\frac{0,5y^2-y+2}{0,5y^2+2}\cdot\frac{1}{2-y}=1\).

Ответ: