4. Докажите тождество: \(\left(\frac{y^2-49}{y^2-14y+49}\right)^4 : \left(\frac{y+7}{y-7}\right)^4=1\).

Разложим многочлены на множители:

\(y^2-49=(y-7)(y+7)\), \(y^2-14y+49=(y-7)^2\).

Область допустимых значений: \(y\ne7\), поскольку знаменатели не должны обращаться в ноль; также \(y\ne-7\), поскольку делитель не должен быть равен нулю.

Для всех допустимых значений \(y\):

\[\left(\frac{y^2-49}{y^2-14y+49}\right)^4 : \left(\frac{y+7}{y-7}\right)^4 = \left(\frac{(y-7)(y+7)}{(y-7)^2}\right)^4 : \left(\frac{y+7}{y-7}\right)^4 = \left(\frac{y+7}{y-7}\right)^4 : \left(\frac{y+7}{y-7}\right)^4 = 1.\]

Оба выражения в частном одинаковы, а делитель отличен от нуля при \(y\ne-7,7\).

Ответ: тождество доказано при \(y\ne-7,7\).