Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: 4. Домашнее задание. 1) Решить: √(2x+3) = x; √(x−1) + √(2x−1) = 1. 2) Составить 3 иррациональных уравнения с посторонними…Фото задания

Ответ:

  1. Первое уравнение. Область определения и условие на правую часть: x ≥ 0. Возводим в квадрат: 2x + 3 = x², поэтому x = 3 или x = −1. Условию x ≥ 0 удовлетворяет только x = 3; проверка: √9 = 3.

    Второе уравнение. Область определения: x ≥ 1. При x ≥ 1 имеем √(x − 1) + √(2x − 1) ≥ 0 + 1 = 1. Равенство возможно, только если одновременно √(x − 1) = 0 и √(2x − 1) = 1; это выполняется при x = 1. Проверка: 0 + 1 = 1.

  2. Примеры, в которых возведение в квадрат приводит к постороннему корню:

    1. √x = −1. После возведения в квадрат получается x = 1, но в исходном уравнении левая часть неотрицательна, а правая отрицательна; корень 1 посторонний.
    2. √(x + 1) = x − 3. После возведения в квадрат получаем x + 1 = (x − 3)², откуда x = 1 или x = 4. В исходное уравнение подходит x = 4, а x = 1 — посторонний: правая часть отрицательна.
    3. √(x + 2) = −x. После возведения в квадрат получаем x + 2 = x², откуда x = 2 или x = −1. В исходном уравнении подходит x = −1; x = 2 — посторонний, поскольку правая часть отрицательна.

    Посторонние корни появляются потому, что возведение равенства в квадрат не сохраняет равносильность без проверки знаков: числа с противоположными знаками могут иметь одинаковые квадраты.

  3. Область определения: 5x − 1 ≥ 0. Возводим в квадрат: 5x − 1 = 4, откуда 5x = 5 и x = 1. Проверка: √4 = 2.

  4. Из-за неотрицательности квадратного корня необходимо 2x ≥ 0, то есть x ≥ 0. Возводим в квадрат: x² + 3x = 4x², поэтому 3x(x − 1) = 0. Получаем x = 0 или x = 1; оба значения удовлетворяют исходному уравнению.

  5. Область определения: x ≥ −5/2. При −5/2 ≤ x < −1 правая часть отрицательна, а левая неотрицательна, поэтому неравенство верно. При x ≥ −1 обе части неотрицательны, и можно возвести в квадрат: 2x + 5 > (x + 1)², то есть x² < 4. Вместе с x ≥ −1 это даёт −1 ≤ x < 2. Объединяем промежутки.

  6. Положим t = √x, где t ≥ 0; тогда x = t². Уравнение принимает вид t² + 4t − 5 = 0, то есть (t − 1)(t + 5) = 0. С учётом t ≥ 0 получаем t = 1, следовательно, x = 1. Проверка: 1 + 4·1 − 5 = 0.

Ответ: 1) x = 3; x = 1. 2) Примеры и объяснение приведены выше. 3) x = 1. 4) x = 0 или x = 1. 5) [−5/2; −1) ∪ (2; +∞). 6) x = 1.