4. Домашнее задание: 1. Решить: сравнить (1,7)⁴ и (2,1)⁴. 2. Решить x⁴ = 81. 3. Решить x⁻³ < 8. 4. Определите область определения функции y = x⁻³. 5. Сравните: (1,8)⁵ и (2,2)⁵. 6. Решите уравнение: x⁶ = 729. 7. Решите неравенство: x⁴ < 81. 8. Функция задана формулой y = x⁻². Определите её чётность и монотонность. 9. Прикладная задача: объём шара V = (4/3)πR³. Во сколько раз увеличится объём, если радиус увеличить в 2 раза?

На положительных числах функция x⁴ возрастает. Так как 1,7 < 2,1, то (1,7)⁴ < (2,1)⁴.

\(x^4=81=3^4\), поэтому \(x=\pm3\).

Область определения: x ≠ 0. При x < 0 величина 1/x³ отрицательна, поэтому неравенство выполняется. При x > 0 функция 1/x³ убывает, а \(\frac{1}{(1/2)^3}=8\), значит \(\frac{1}{x^3}<8\) при x > 1/2. Итак, \(x\in(-\infty;0)\cup(\frac{1}{2};+\infty)\).

Функция \(y=x^{-3}=\frac{1}{x^3}\) определена при x ≠ 0.

Область определения: \(( -\infty;0)\cup(0;+\infty)\).

Функция x⁵ возрастает, а 1,8 < 2,2. Следовательно, (1,8)⁵ < (2,2)⁵.

\(x^6=729=3^6\). Поскольку степень чётная, \(x=\pm3\).

\(x^4<81=3^4\) равносильно \(|x|<3\). Поэтому \(x\in(-3;3)\).

Область определения функции \(y=x^{-2}=1/x^2\): x ≠ 0. Функция чётная, поскольку \(f(-x)=f(x)\). Она возрастает на \(( -\infty;0)\) и убывает на \((0;+\infty)\).

Пусть радиус увеличили в 2 раза: новый радиус равен 2R. Тогда

\(V_1=\frac{4}{3}\pi R^3\), \(V_2=\frac{4}{3}\pi(2R)^3=8\cdot\frac{4}{3}\pi R^3=8V_1\).

Ответ: объём увеличится в 8 раз.