4. Доп. В треугольнике АВС угол ∠B=∠C, ВЕ-СК. Найдите на чертеже еще 3 пары равных отрезков и хотя бы одну пару равных углов. Ответ обоснуйте.

Задание 4. Треугольник ABC

Дано:

• Треугольник ABC.
• Угол \( ∠B = ∠C \).
• \( BE = CK \) (точки E и K лежат на сторонах AC и AB соответственно).

Найти: 3 пары равных отрезков и 1 пару равных углов (кроме данных).

Решение:

1. Равные углы:
• Дано: \( ∠B = ∠C \).
• Дополнительно: Так как \( ∠B = ∠C \), треугольник ABC является равнобедренным. Следовательно, стороны, противолежащие этим углам, равны: \( AB = AC \).
• Еще одна пара углов: Рассмотрим треугольники \( △ABE \) и \( △ACK \).
• У них \( ∠A \) - общий.
• \( AB = AC \) (потому что \( ∠B = ∠C \)).
• \( BE = CK \) (дано).
• По двум сторонам и углу между ними (II признак равенства треугольников), \( △ABE = △ACK \).
• Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: \( ∠ABE = ∠ACK \). Это те же углы \( ∠B \) и \( ∠C \), которые уже были даны.
• Еще одна пара углов: Рассмотрим треугольники \( △EBC \) и \( △KCB \).
• \( BC \) - общая сторона.
• \( ∠B = ∠C \) (дано).
• \( BE = CK \) (дано).
• По двум сторонам и углу между ними (II признак равенства треугольников), \( △EBC = △KCB \).
• Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: \( ∠BEC = ∠CKB \).

Итак, мы нашли две пары равных углов:

• \( ∠B = ∠C \) (дано).
• \( ∠BEC = ∠CKB \) (доказано).
2. Равные отрезки:
• Пара 1: \( AB = AC \) (так как \( ∠B = ∠C \), треугольник равнобедренный).
• Пара 2: \( AE = AK \) (из равенства \( △ABE = △ACK \) по II признаку: \( ∠A \) - общий, \( AB=AC \), \( BE=CK \)).
• Пара 3: \( EC = KB \) (из равенства \( △EBC = △KCB \) по II признаку: \( BC \) - общая, \( ∠B=∠C \), \( BE=CK \)).

Ответ:

• Равные углы: \( ∠B = ∠C \) и \( ∠BEC = ∠CKB \).
• Равные отрезки: \( AB = AC \), \( AE = AK \), \( EC = KB \).