4. Две стороны треугольника равны \(2\sqrt{3}\) см и 8 см. Найдите третью сторону треугольника, если она равна радиусу окружности, описанной около данного треугольника.

Обозначим третью сторону через \(c\), а угол напротив неё — через \(C\). По теореме косинусов для радиуса описанной окружности: \(c=2R\sin C\). Так как \(c=R\), получаем \(\sin C=\frac12\), следовательно, \(C=30^\circ\) или \(150^\circ\).

Пусть стороны, образующие угол \(C\), равны 8 см и \(2\sqrt3\) см. По теореме косинусов:

\[c^2=8^2+(2\sqrt3)^2-2\cdot8\cdot2\sqrt3\cos C.\]

При \(C=30^\circ\): \(c^2=112-24\sqrt3\), поэтому \(c=\sqrt{112-24\sqrt3}\) см. Условие \(c=2R\sin C\) при \(\sin C=\frac12\) даёт \(c=R\).

При \(C=150^\circ\): \(c^2=112+24\sqrt3\), поэтому \(c=\sqrt{112+24\sqrt3}\) см; и здесь \(c=2R\cdot\frac12=R\).

Оба значения удовлетворяют условию и неравенствам треугольника.

Ответ: \(\sqrt{112-24\sqrt3}\) см или \(\sqrt{112+24\sqrt3}\) см.