4. Две вершины треугольника соединили ломаной линией. В результате к треугольнику на рисунке добавились два многоугольника. У одного из них шесть вершин, а у другого семь сторон. Сколько звеньев было у добавленной ломаной линии?

Пусть у ломаной линии было n звеньев. Она делит треугольник на два многоугольника.

У каждого многоугольника границы включают часть сторон исходного треугольника и звенья ломаной. Вместе два многоугольника используют три стороны треугольника, а звенья ломаной учитываются дважды — по одному разу с каждой стороны. Поэтому сумма числа сторон равна \(3+2n\).

У одного многоугольника 6 вершин, значит, у него 6 сторон; у другого 7 сторон. Тогда \(6+7=3+2n\), откуда \(2n=10\) и \(n=5\).

Ответ: 5 звеньев.