4 \(\frac{1}{5-4x}\) + \(\frac{2}{1+4x}\) = -1

Решение:

Приведём дроби к общему знаменателю \( (5-4x)(1+4x) \).

\( 4 \cdot \frac{1}{5-4x} \) = \( \frac{4(1+4x)}{(5-4x)(1+4x)} \) = \( \frac{4+16x}{(5-4x)(1+4x)} \)

\( \frac{2}{1+4x} \) = \( \frac{2(5-4x)}{(5-4x)(1+4x)} \) = \( \frac{10-8x}{(5-4x)(1+4x)} \)

Теперь сложим полученные дроби:

\( \frac{4+16x + 10-8x}{(5-4x)(1+4x)} = -1 \)

\( \frac{14+8x}{(5-4x)(1+4x)} = -1 \)

Раскроем скобки в знаменателе:

\( (5-4x)(1+4x) = 5 + 20x - 4x - 16x^2 = 5 + 16x - 16x^2 \)

Получаем уравнение:

\( \frac{14+8x}{5+16x-16x^2} = -1 \)

Умножим обе части на знаменатель:

\( 14+8x = -(5+16x-16x^2) \)

\( 14+8x = -5-16x+16x^2 \)

Перенесём все члены в правую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

\( 16x^2 - 16x - 8x - 5 - 14 = 0 \)

\( 16x^2 - 24x - 19 = 0 \)

Теперь решим это квадратное уравнение через дискриминант:

\( D = b^2 - 4ac = (-24)^2 - 4 \cdot 16 \cdot (-19) = 576 + 1216 = 1792 \)

\( \sqrt{D} = \sqrt{1792} = \sqrt{256 \cdot 7} = 16\sqrt{7} \)

Найдём корни:

\( x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{24 + 16\sqrt{7}}{2 \cdot 16} = \frac{24 + 16\sqrt{7}}{32} = \frac{3 + 2\sqrt{7}}{4} \)

\( x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{24 - 16\sqrt{7}}{2 \cdot 16} = \frac{24 - 16\sqrt{7}}{32} = \frac{3 - 2\sqrt{7}}{4} \)

Проверим, что знаменатели не равны нулю при найденных корнях:

\( 5-4x \neq 0 \implies x \neq \frac{5}{4} \)

\( 1+4x \neq 0 \implies x \neq -\frac{1}{4} \)

Найденные корни не равны \( \frac{5}{4} \) и \( -\frac{1}{4} \).

Ответ: \( x = \frac{3 \pm 2\sqrt{7}}{4} \).