4) \(\frac{2\sqrt{7}}{\sqrt{7}+\sqrt{3}} + \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{7}-\sqrt{3}} =\)

Решение:

Чтобы решить это выражение, приведем дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель равен произведению знаменателей: \( (\sqrt{7}+\sqrt{3})(\sqrt{7}-\sqrt{3}) \). Это разность квадратов, которая равна \( (\sqrt{7})^2 - (\sqrt{3})^2 = 7 - 3 = 4 \).

Теперь преобразуем числители:

Первая дробь: \( \frac{2\sqrt{7}}{\sqrt{7}+\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{7}(\sqrt{7}-\sqrt{3})}{(\sqrt{7}+\sqrt{3})(\sqrt{7}-\sqrt{3})} = \frac{2\cdot 7 - 2\sqrt{7}\sqrt{3}}{4} = \frac{14 - 2\sqrt{21}}{4} \)

Вторая дробь: \( \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{7}-\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}(\sqrt{7}+\sqrt{3})}{(\sqrt{7}-\sqrt{3})(\sqrt{7}+\sqrt{3})} = \frac{2\sqrt{3}\sqrt{7} + 2\cdot 3}{4} = \frac{2\sqrt{21} + 6}{4} \)

Теперь сложим обе дроби:

\( \frac{14 - 2\sqrt{21}}{4} + \frac{2\sqrt{21} + 6}{4} = \frac{14 - 2\sqrt{21} + 2\sqrt{21} + 6}{4} = \frac{14 + 6}{4} = \frac{20}{4} = 5 \)

Ответ: 5