4. Газ в сосуде находится под давлением 2 ⋅ 10⁵ Па при температуре 127 °С. Определите давление газа после того, как половина массы газа выпущена из сосуда, а температура понижена на 50 °С.

Решение:

Воспользуемся уравнением Менделеева-Клапейрона:

\( PV = \frac{m}{M} RT \), где \( P \) — давление, \( V \) — объём, \( m \) — масса газа, \( M \) — молярная масса, \( R \) — универсальная газовая постоянная, \( T \) — температура.

Объём сосуда \( V \) и молярная масса газа \( M \) остаются постоянными.

Из уравнения следует, что \( \frac{P}{T} = \frac{mR}{MV} \).

Так как \( R, M, V \) постоянны, то \( \frac{P}{T} \) пропорционально массе \( m \) газа:

\( \frac{P}{T} \propto m \)

Пусть начальные значения:

• Давление \( P_1 = 2 \cdot 10^5 \) Па.
• Температура \( T_1 = 127 \) °С = \( 127 + 273 = 400 \) К.
• Начальная масса газа — \( m_1 \).

После выпуска половины массы газа и понижения температуры:

• Новая масса газа \( m_2 = \frac{1}{2} m_1 \).
• Новая температура \( T_2 = (127 - 50) \) °С = \( 77 \) °С = \( 77 + 273 = 350 \) К.
• Новое давление — \( P_2 \).

Составим соотношение:

\[ \frac{P_1}{T_1} \propto m_1 \]

\[ \frac{P_2}{T_2} \propto m_2 = \frac{1}{2} m_1 \]

Разделим второе уравнение на первое:

\[ \frac{P_2/T_2}{P_1/T_1} = \frac{m_2}{m_1} \]

\[ \frac{P_2 \cdot T_1}{P_1 \cdot T_2} = \frac{1}{2} \]

Выразим \( P_2 \):

\[ P_2 = P_1 \cdot \frac{T_2}{T_1} \cdot \frac{1}{2} \]

\[ P_2 = (2 \cdot 10^5 \text{ Па}) \cdot \frac{350 \text{ К}}{400 \text{ К}} \cdot \frac{1}{2} \]

\[ P_2 = (2 \cdot 10^5 \text{ Па}) \cdot \frac{350}{800} \]

\[ P_2 = (2 \cdot 10^5 \text{ Па}) \cdot 0.4375 \]

\[ P_2 = 0.875 \cdot 10^5 \text{ Па} = 8.75 \cdot 10^4 \text{ Па} \]

Ответ: Давление газа после изменений составит 8.75 ⋅ 10⁴ Па.