4. He left the house in a hurry ___ taking his umbrella, and it started to rain.

Перевод задания: Он поспешно вышел из дома, не взяв зонт, и начался дождь.

Правильно: without. Эта форма уже стоит в пропуске; предложение означает, что он ушёл без зонта.

He left the house in a hurry without taking his umbrella, and it started to rain. (Он поспешно вышел из дома, не взяв зонт, и начался дождь.)