4°. Хорды MN и PK пересекаются в точке С. Найдите длину отрезка CP, если он в 5 раз больше отрезка CK, MC = 5, CN = 9.

Решение:

По свойству пересекающихся хорд в окружности, произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды: \( MC \cdot CN = PC \cdot CK \).

По условию \( MC = 5 \) см, \( CN = 9 \) см.

Произведение отрезков хорды MN: \( 5 \cdot 9 = 45 \).

По условию отрезок \( CP \) в 5 раз больше отрезка \( CK \). Обозначим \( CK = x \) см, тогда \( CP = 5x \) см.

Произведение отрезков хорды PK: \( CP \cdot CK = 5x \cdot x = 5x^2 \).

Приравниваем произведения:

\( 45 = 5x^2 \)

\( x^2 = \frac{45}{5} \)

\( x^2 = 9 \)

\( x = \sqrt{9} = 3 \) см (длина отрезка не может быть отрицательной).

Значит, \( CK = 3 \) см.

Найдём длину отрезка \( CP \):

\( CP = 5x = 5 \cdot 3 = 15 \) см.

Ответ: 15