4. Используя координаты трех вершин А(-4; -5), В(-4; 3) и С(3; 3) прямоугольника ABCD: а) начертите этот прямоугольник; б) определите координаты точки D; в) определите длины сторон прямоугольника (в единичных отрезках).

Постановка задачи:

Даны координаты трех вершин прямоугольника ABCD: A(-4, -5), B(-4, 3), C(3, 3). Необходимо:

• а) Начертить прямоугольник.
• б) Определить координаты точки D.
• в) Определить длины сторон прямоугольника.

Пошаговое решение:

1. а) Построение прямоугольника:
   Отметим данные точки на координатной плоскости: A(-4, -5), B(-4, 3), C(3, 3). Соединим их отрезками.
2. б) Нахождение координат точки D:
   В прямоугольнике ABCD векторы $$\vec{AB}$$ и $$\vec{DC}$$ равны, так же как и векторы $$\vec{BC}$$ и $$\vec{AD}$$.
   Найдем вектор $$\vec{AB}$$: \( \vec{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A) = (-4 - (-4), 3 - (-5)) = (0, 8) \).
   Пусть координаты точки D будут (x_D, y_D). Тогда вектор $$\vec{DC} = (x_C - x_D, y_C - y_D) = (3 - x_D, 3 - y_D)$$.
   Приравнивая векторы $$\vec{AB}$$ и $$\vec{DC}$$:
   \( 0 = 3 - x_D \) => \( x_D = 3 \)
   \( 8 = 3 - y_D \) => \( y_D = 3 - 8 = -5 \)
   Итак, координаты точки D: (3, -5).
3. в) Определение длин сторон:
   Длина стороны AB: \( AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} = \sqrt{(-4 - (-4))^2 + (3 - (-5))^2} = \sqrt{0^2 + 8^2} = \sqrt{64} = 8 \) единичных отрезков.
   Длина стороны BC: \( BC = \sqrt{(x_C - x_B)^2 + (y_C - y_B)^2} = \sqrt{(3 - (-4))^2 + (3 - 3)^2} = \sqrt{7^2 + 0^2} = \sqrt{49} = 7 \) единичных отрезков.
   Длины сторон прямоугольника равны 8 и 7 единичным отрезкам.

Ответ:
а) Прямоугольник построен на координатной плоскости.
б) Координаты точки D: (3, -5).
в) Длины сторон прямоугольника: 8 и 7 единичных отрезков.