4. Используя равенство \(C_n^k=C_n^{n-k}\), вычислите: а) \(C_{10}^9\); б) \(C_{10}^8\); в) \(C_{12}^{10}\); г) \(C_{12}^{11}\); д) \(C_{200}^{199}\); е) \(C_{2000}^{1999}\).

Используем равенство симметрии сочетаний и значения \(C_n^0=1\), \(C_n^1=n\), \(C_n^2=\frac{n(n-1)}{2}\).

1. а) \(C_{10}^9=C_{10}^1=10\).
2. б) \(C_{10}^8=C_{10}^2=\frac{10\cdot9}{2}=45\).
3. в) \(C_{12}^{10}=C_{12}^2=\frac{12\cdot11}{2}=66\).
4. г) \(C_{12}^{11}=C_{12}^1=12\).
5. д) \(C_{200}^{199}=C_{200}^1=200\).
6. е) \(C_{2000}^{1999}=C_{2000}^1=2000\).

Ответ: а) 10; б) 45; в) 66; г) 12; д) 200; е) 2000.