4. Исследовать функцию и построить её график: f(x) = -x³ + 3x²-4

Исследование функции \( f(x) = -x^3 + 3x^2 - 4 \)

1. Область определения: Функция определена для всех действительных чисел \( x \in (-\infty; +\infty) \).
2. Производная: \( f'(x) = -3x^2 + 6x \)
3. Критические точки: Приравняем производную к нулю: \( -3x^2 + 6x = 0 \) \( -3x(x - 2) = 0 \) Следовательно, \( x_1 = 0 \) и \( x_2 = 2 \) — критические точки.
4. Интервалы монотонности и точки экстремума:
   • При \( x < 0 \) (например, \( x = -1 \)): \( f'(-1) = -3(-1)^2 + 6(-1) = -3 - 6 = -9 < 0 \). Функция убывает.
   • При \( 0 < x < 2 \) (например, \( x = 1 \)): \( f'(1) = -3(1)^2 + 6(1) = -3 + 6 = 3 > 0 \). Функция возрастает.
   • При \( x > 2 \) (например, \( x = 3 \)): \( f'(3) = -3(3)^2 + 6(3) = -27 + 18 = -9 < 0 \). Функция убывает.

   Точка \( x = 0 \) — минимум. Точка \( x = 2 \) — максимум.

5. Значения функции в точках экстремума:
   • При \( x = 0 \): \( f(0) = -(0)^3 + 3(0)^2 - 4 = -4 \). Точка минимума: \( (0; -4) \).
   • При \( x = 2 \): \( f(2) = -(2)^3 + 3(2)^2 - 4 = -8 + 12 - 4 = 0 \). Точка максимума: \( (2; 0) \).
6. Пересечение с осями:
   • С осью Y: при \( x = 0 \), \( f(0) = -4 \). Точка пересечения: \( (0; -4) \).
   • С осью X: при \( f(x) = 0 \), \( -x^3 + 3x^2 - 4 = 0 \). Один корень \( x = 2 \). Попробуем найти остальные. Разделим многочлен \( -x^3 + 3x^2 - 4 \) на \( (x-2) \). Получим \( -(x^2 - x - 2) \). Корни \( x^2 - x - 2 = 0 \) находим через дискриминант: \( D = (-1)^2 - 4(1)(-2) = 1 + 8 = 9 \). \( x = \frac{1 \pm 3}{2} \). \( x_3 = \frac{1+3}{2} = 2 \), \( x_4 = \frac{1-3}{2} = -1 \). Таким образом, корни: \( x = 2 \) (кратности 2) и \( x = -1 \). Точки пересечения с осью X: \( (-1; 0) \) и \( (2; 0) \).
7. Построение графика:

Ответ: Функция имеет локальный минимум в точке \( (0; -4) \) и локальный максимум в точке \( (2; 0) \). График проходит через точки \( (-1; 0) \), \( (0; -4) \) и \( (2; 0) \).