4. Исследовать функцию и построить её график: f(x) = x⁴ - 4x²

Решение:

Исследуем функцию \( f(x) = x^4 - 4x^2 \) и построим её график.

1. Область определения: Функция определена для всех действительных чисел, \( D(f) = (-\infty; +\infty) \).
2. Чётность/нечётность: \( f(-x) = (-x)^4 - 4(-x)^2 = x^4 - 4x^2 = f(x) \). Функция чётная, её график симметричен относительно оси ординат.
3. Нули функции: Приравняем \( f(x) \) к нулю: \( x^4 - 4x^2 = 0 \) \( x^2(x^2 - 4) = 0 \) \( x^2(x-2)(x+2) = 0 \). Корни: \( x=0 \), \( x=2 \), \( x=-2 \).
4. Производная и интервалы монотонности: Найдем первую производную: \( f'(x) = (x^4 - 4x^2)' = 4x^3 - 8x \). Приравняем производную к нулю: \( 4x^3 - 8x = 0 \) \( 4x(x^2 - 2) = 0 \). Критические точки: \( x=0 \), \( x=\sqrt{2} \), \( x=-\sqrt{2} \).
5. Интервалы монотонности:
   • На \( (-\infty; -\sqrt{2}) \) и \( (0; \sqrt{2}) \) — функция убывает (например, \( f'(-2) = 4(-2)^3 - 8(-2) = -32 + 16 = -16 < 0 \)).
   • На \( (-\sqrt{2}; 0) \) и \( (\sqrt{2}; +\infty) \) — функция возрастает (например, \( f'(1) = 4(1)^3 - 8(1) = 4 - 8 = -4 < 0 \), \( f'(1) = 4(1)^3 - 8(1) = 4 - 8 = -4 < 0 \) - ошибка в рассуждении, надо перепроверить.
   • Перепроверка: \( f'(x) = 4x(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2}) \).
   • На \( (-\infty; -\sqrt{2}) \): \( x<0, x-\sqrt{2}<0, x+\sqrt{2}<0 \) → \( f'(x) < 0 \) (убывает).
   • На \( (-\sqrt{2}; 0) \): \( x<0, x-\sqrt{2}<0, x+\sqrt{2}>0 \) → \( f'(x) > 0 \) (возрастает).
   • На \( (0; \sqrt{2}) \): \( x>0, x-\sqrt{2}<0, x+\sqrt{2}>0 \) → \( f'(x) < 0 \) (убывает).
   • На \( (\sqrt{2}; +\infty) \): \( x>0, x-\sqrt{2}>0, x+\sqrt{2}>0 \) → \( f'(x) > 0 \) (возрастает).
6. Экстремумы:
   • Точка \( x = -\sqrt{2} \) — локальный минимум. \( f(-\sqrt{2}) = (-\sqrt{2})^4 - 4(-\sqrt{2})^2 = 4 - 4(2) = 4 - 8 = -4 \). Точка \( (-\sqrt{2}; -4) \).
   • Точка \( x = 0 \) — локальный максимум. \( f(0) = 0^4 - 4(0)^2 = 0 \). Точка \( (0; 0) \).
   • Точка \( x = \sqrt{2} \) — локальный минимум. \( f(\sqrt{2}) = (\sqrt{2})^4 - 4(\sqrt{2})^2 = 4 - 4(2) = 4 - 8 = -4 \). Точка \( (\sqrt{2}; -4) \).
7. Вторая производная и точки перегиба: \( f''(x) = (4x^3 - 8x)' = 12x^2 - 8 \). Приравняем \( f''(x) \) к нулю: \( 12x^2 - 8 = 0 \) \( x^2 = \frac{8}{12} = \frac{2}{3} \). \( x = \pm\sqrt{\frac{2}{3}} \).
8. Точки перегиба:
   • На \( (-\infty; -\sqrt{2/3}) \) и \( (\sqrt{2/3}; +\infty) \) — график выпуклый вверх (вогнутый).
   • На \( (-\sqrt{2/3}; \sqrt{2/3}) \) — график выпуклый вниз (выпуклый).
   • Точки перегиба: \( x = -\sqrt{\frac{2}{3}} \) и \( x = \sqrt{\frac{2}{3}} \). \( f(\pm\sqrt{\frac{2}{3}}) = (\frac{2}{3})^2 - 4(\frac{2}{3}) = \frac{4}{9} - \frac{8}{3} = \frac{4 - 24}{9} = -\frac{20}{9} \).
9. Асимптоты: Вертикальных и наклонных асимптот нет, так как функция определена везде и является полиномом.

Ответ: график функции — симметричная кривая с двумя минимумами в точках \( (-\sqrt{2}; -4) \) и \( (\sqrt{2}; -4) \), локальным максимумом в точке \( (0; 0) \) и точками перегиба \( (\pm\sqrt{\frac{2}{3}}; -\frac{20}{9}) \).