4) Из 156 чайных, 234 белых и 390 красных роз сделали букеты, причем во всех букетах роз каждого вида было поровну и число роз было больше 50. Сколько букетов сделали из этих роз и сколько роз каждого вида было в одном букете?

Пусть сделали \(n\) одинаковых букетов. Тогда \(n\) должно делить количества роз каждого вида: 156, 234 и 390. Число роз в одном букете больше 50.

Всего роз \(156+234+390=780\), поэтому в каждом букете должно быть \(780/n>50\), то есть \(n<15.6\).

Разложим количества на множители: \(156=2^2\cdot3\cdot13\), \(234=2\cdot3^2\cdot13\), \(390=2\cdot35\cdot13\). Их НОД равен \(2\cdot3\cdot13=78\), поэтому число букетов — делитель 78, меньший 15.6. Возможны \(n=1,2,3,6,13\).

Для каждого допустимого числа букетов количество каждого вида в букете равно соответствующему общему количеству, делённому на \(n\).

Условие допускает несколько ответов: оно задаёт делимость и минимум роз на букет, но не требует, чтобы число букетов было наибольшим. Если имеется в виду наибольшее возможное число букетов, то это 13.

Ответ: возможны 1, 2, 3, 6 или 13 букетов; при наибольшем числе букетов — 13 букетов, в каждом 12 чайных, 18 белых и 30 красных роз (всего 60 роз).