4) Из точки A к данной плоскости α проведены перпендикуляр AA₁ и две наклонные AB и AC. CA₁ = 4, ∠ABA₁ = 30°, ∠ACA₁ = 60°, а угол между наклонными 90°. Найти расстояние между основаниями наклонных.

1. В прямоугольном треугольнике AA₁C: \(AA_1=CA_1\tan 60^\circ=4\sqrt{3}\).

2. В прямоугольном треугольнике AA₁B: \(BA_1=AA_1/\tan 30^\circ=12\).

3. Пусть \(\varphi=\angle BA_1C\). По теореме косинусов для треугольника ABC, где \(AB=\sqrt{(4\sqrt3)^2+12^2}=8\sqrt3\), \(AC=\sqrt{(4\sqrt3)^2+4^2}=8\), а \(\angle BAC=90^\circ\): \(BC^2=AB^2+AC^2=192+64=256\).

Ответ: расстояние между основаниями наклонных \(BC=16\).