4. Из точки B исходят четыре луча так, что луч BA есть биссектриса ∠FBG и луч BG — биссектриса ∠ABC, причём ∠HBG = 42°. Определите, сколько углов с вершиной в точке B изображено на рисунке? Объясните, почему ∠CBG = ∠DBG и найдите величину этого угла.

На рисунке из точки B выходят четыре различных луча: BF, BA, BG и BD. Каждая пара лучей задаёт один угол, поэтому число углов равно \(\binom{4}{2}=6\).

Точки C и D лежат на одном луче с началом B, следовательно, лучи BC и BD совпадают. Поэтому углы \(\angle CBG\) и \(\angle DBG\) образованы одной и той же парой лучей и равны.

Так как BA — биссектриса \(\angle FBG\), а \(\angle HBG=42^\circ\), на рисунке с BF и BH на одной прямой угол \(\angle FBG=42^\circ\). Значит, \(\angle ABG=21^\circ\). Так как BG — биссектриса \(\angle ABC\), получаем \(\angle GBC=\angle ABG=21^\circ\). Следовательно, \(\angle CBG=21^\circ\), и равный ему \(\angle DBG=21^\circ\).

Ответ: 6 углов; \(\angle CBG=\angle DBG=21^\circ\).