4. Известно, что ЕК = FK и ЕС = FC (рис. 43). Докажите, что ∠EMK = ∠FMK.

Задача 4: Доказательство равенства углов.

Условие: Дано, что EK = FK и EC = FC. Нужно доказать, что ∠EMK = ∠FMK.

Решение:

Смотрим на треугольники EMK и FMK.

1. Сторона MK — общая для обоих треугольников.
2. Сторона EK = FK. Это дано по условию.
3. Сторона EC = FC. Это тоже дано по условию.

Что мы можем сказать про треугольники EKC и FKC? У них есть общая сторона KC, EK = FK и EC = FC. По третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам), треугольник EKC равен треугольнику FKC.
Из равенства этих треугольников следует, что равны их соответствующие углы, а именно ∠ECK = ∠FCK и ∠EKC = ∠FKC.

Теперь вернемся к нашим основным треугольникам: EMK и FMK.

У нас есть:

1. Сторона MK — общая.
2. Сторона EK = FK (дано).

Чтобы доказать равенство треугольников EMK и FMK, нам нужен еще один элемент. Мы можем использовать равенство углов ∠EMK = ∠FMK, которое и нужно доказать, или равенство сторон EM = FM.

Рассмотрим треугольники EMC и FMC.

У нас есть:

1. Сторона MC — общая.
2. Сторона EC = FC (дано).

Мы также знаем, что ∠ECM = ∠FCM, так как ∠ECK = ∠FCK. (M лежит на KC, значит ∠ECM и ∠FCM — это те же углы, что ∠ECK и ∠FCK).

Значит, по первому признаку равенства треугольников (две стороны и угол между ними), треугольник EMC равен треугольнику FMC.
Из равенства этих треугольников следует, что их соответствующие стороны равны, а именно EM = FM.

Теперь вернемся к нашим треугольникам EMK и FMK:

1. Сторона MK — общая.
2. Сторона EK = FK (дано).
3. Сторона EM = FM (доказано выше).

По третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам), треугольник EMK равен треугольнику FMK.
Из равенства этих треугольников следует, что их соответствующие углы равны, а именно ∠EMK = ∠FMK.

Что и требовалось доказать!