4) Извлечь корень: \(\sqrt{2+2i\sqrt{3}}\).

Пусть \(\sqrt{2+2i\sqrt{3}}=a+bi\), где \(a,b\in\mathbb{R}\). Тогда \((a+bi)^2=2+2i\sqrt{3}\), поэтому \(a^2-b^2=2\) и \(2ab=2\sqrt{3}\).

Модуль числа под корнем равен \(\sqrt{2^2+(2\sqrt{3})^2}=4\). Следовательно, \(a^2=(4+2)/2=3\), а \(b^2=(4-2)/2=1\). Поскольку мнимая часть исходного числа положительна, корни имеют одинаковые знаки у действительной и мнимой частей.

Ответ: \(\sqrt{2+2i\sqrt{3}}=\pm(\sqrt{3}+i)\).