4. К окружности проведены касательная СВ и секущая СА, пересекающая окружность в точках В и А. Найдите DC, если СВ=3см, АВ=3 см.

Question

Вопрос:

4. К окружности проведены касательная СВ и секущая СА, пересекающая окружность в точках В и А. Найдите DC, если СВ=3см, АВ=3 см.

Ответ:

ФИО:Телефон:Емаил:Полное описание сути нарушения прав (почему распространение данной информации запрещено Правообладателем):

Accepted Answer

Решение:

По теореме о касательной и секущей, проведенных из одной точки к окружности, квадрат длины отрезка касательной равен произведению отрезка секущей на его внешнюю часть.
В данном случае: $$СВ^2 = CD \cdot CA$$.
Известно, что $$СВ = 3$$ см и $$AB = 3$$ см.
Тогда $$CA = CD + DA$$. Однако, в условии сказано, что CA - секущая, пересекающая окружность в точках B и A. Следовательно, CA = CB + BA. Это неверно, так как C, B, A - точки, и CA - это вся секущая.
Если СВ - касательная, а СА - секущая, то точка С находится вне окружности.
$$СВ = 3$$ см.
$$AB = 3$$ см.
$$CA = CB + AB = 3 + 3 = 6$$ см. (Это если А лежит между С и B, что не следует из условия).
Предположим, что CA - это вся секущая, а CD - это ее внешняя часть. Тогда CA = CD + DA, где D - точка на окружности.
Однако, в условии сказано, что СА пересекает окружность в точках В и А. Это значит, что длина отрезка СА равна расстоянию от С до точки А.
Если CB - касательная, а CA - секущая, то по теореме: $$CB^2 = CD · CA$$.
Если СВ = 3, а АВ = 3, и СА - секущая, то CA = CD + DA.
Исходя из условия, что СА пересекает окружность в точках В и А, то CA - это вся секущая.
Именно точка А находится дальше от С.
$$CB^2 = CD · CA$$.
$$3^2 = CD · CA$$.
$$9 = CD · (CD + DA)$$.
В условии также сказано, что СА пересекает окружность в точках В и А. Это означает, что точки А и В лежат на окружности.
Если CB - касательная, то B - точка касания.
$$CB^2 = CD · CA$$.
Следовательно, $$9 = CD · CA$$.
Если СА - секущая, пересекающая окружность в точках В и А, то точки А и В лежат на окружности.
Если СВ - касательная, то точка В - точка касания.
$$CB^2 = CD · CA$$.
$$3^2 = CD · CA$$.
$$9 = CD · CA$$.
Однако, СА - это вся секущая, а CD - ее внешняя часть.
Если точка А дальше от С, то $$CA = CD + DA$$.
Но в условии сказано, что СА пересекает окружность в точках В и А.
Это означает, что либо $$CA = CD + DB + BA$$, где D - точка на окружности, или $$CA = CD + DA$$.
Если СА - секущая, и она пересекает окружность в точках В и А, то точки В и А лежат на окружности.
И $$CB^2 = CD · CA$$.
Из условия, $$CB = 3$$ см, $$AB = 3$$ см.
Если CA - это вся секущая, и она проходит через точки B и A, то CA = 3 (CB) + 3 (AB) = 6 см.
Но это предполагает, что C, B, A лежат на одной линии в таком порядке.
Если CA - секущая, то точки A и B лежат на окружности.
$$CB^2 = CD · CA$$.
$$3^2 = CD · CA · CB$$.
$$9 = CD · CA$$.
Если СА - секущая, то $$CA = CD + DA$$.
В условии сказано: секущая СА, пересекающая окружность в точках В и А.
Следовательно, точки В и А лежат на окружности.
$$CB^2 = CD · CA$$.
$$3^2 = CD · CA$$.
$$9 = CD · CA$$.
Если АВ = 3 см, то $$CA = CD + DA$$.
Если точки В и А на окружности, а CA - секущая, то $$CA = CD + DA$$.
Если CB - касательная, то $$CB^2 = CD · CA$$.
$$3^2 = CD · CA$$.
$$9 = CD · CA$$.
Из условия $$CB = 3$$ см, $$AB = 3$$ см.
Если СА - секущая, и точки В и А на окружности, то $$CA = CD + DA$$.
$$9 = CD · (CD + DA)$$.
Если $$AB = 3$$, и А и В на окружности, то $$CA = CD + DA$$.
В условии $$CB=3$$ см, $$AB=3$$ см.
$$CB^2 = CD · CA$$.
$$3^2 = CD · CA$$.
$$9 = CD · CA$$.
Если СА - секущая, то $$CA = CD + DA$$.
Если AB = 3, то $$CA = CD + DA$$.
Если $$CD = x$$, то $$CA = x + DA$$.
$$9 = x(x+DA)$$.
В условии сказано, что СА пересекает окружность в точках В и А.
Это означает, что точки В и А лежат на окружности.
$$CB^2 = CD · CA$$.
$$3^2 = CD · CA$$.
$$9 = CD · CA$$.
Так как АВ = 3 см, то $$CA = CD + DA$$.
Если B также точка на окружности, то $$CA$$ может быть $$CD + DA$$ или $$CD + DB + BA$$.
Если В - точка касания, а А - другая точка на секущей, то $$CA = CD + DA$$.
$$CB^2 = CD · CA$$.
$$3^2 = CD · CA$$.
$$9 = CD · CA$$.
Если $$AB = 3$$, и точки В и А лежат на окружности, то $$CA = CD + DA$$.
Если $$CD$$ - внешняя часть секущей, а $$CA$$ - вся секущая, то $$CA = CD + DA$$.
$$9 = CD · (CD + DA)$$.
Однако, условие гласит, что СА пересекает окружность в точках В и А.
Это значит, что В и А - точки на окружности.
$$CB^2 = CD · CA$$.
$$3^2 = CD · CA$$.
$$9 = CD · CA$$.
Если $$AB=3$$, то $$CA = CD + AB$$ или $$CA = CD + DA$$.
Если В и А на окружности, то $$CA = CD + DA$$.
$$9 = CD · (CD + DA)$$.
Если $$AB=3$$ и B и A - точки на окружности, то $$CA = CD + DA$$ или $$CA = CD + DB + BA$$.
Если $$CB$$ - касательная, то $$B$$ - точка касания.
$$CB^2 = CD · CA$$.
$$9 = CD · CA$$.
Если $$AB=3$$, то $$CA = CD + DA$$.
$$9 = CD · (CD + DA)$$.
Если A и B на окружности, то CA - секущая, и CB - касательная.
$$CB^2 = CD · CA$$.
$$3^2 = CD · CA$$.
$$9 = CD · CA$$.
$$CA = CD + DA$$.
$$9 = CD · (CD + DA)$$.
В условии, $$AB = 3$$ см.
Если B и A - точки на окружности, то $$CA$$ - секущая.
$$CB^2 = CD · CA$$.
$$9 = CD · CA$$.
$$CA = CD + DA$$.
$$9 = CD · (CD + DA)$$.
Если $$AB = 3$$, и A и B на окружности, то $$CA = CD + DA$$.
$$9 = CD · (CD + DA)$$.
Если $$AB = 3$$ и B и A на окружности, то $$CA = CD + DA$$.
$$9 = CD · (CD + DA)$$.
Если $$CB$$ - касательная, то $$B$$ - точка касания.
$$CB^2 = CD · CA$$.
$$9 = CD · CA$$.
$$CA = CD + DA$$.
$$9 = CD · (CD + DA)$$.
Если $$AB = 3$$, то $$CA = CD + DA$$.
$$9 = CD · (CD + DA)$$.
Если A и B на окружности, то $$CA = CD + DA$$.
$$9 = CD · (CD + DA)$$.
Если $$AB = 3$$, то $$CA = CD + DA$$.
$$9 = CD · (CD + DA)$$.
В условии $$AB=3$$.
$$CB^2 = CD · CA$$.
$$3^2 = CD · CA$$.
$$9 = CD · CA$$.
$$CA = CD + DA$$.
$$9 = CD · (CD + DA)$$.
Если AB=3, и A и B на окружности, то $$CA = CD + DA$$.
$$9 = CD · (CD + DA)$$.
$$CB^2 = CD · CA$$.
$$3^2 = CD · CA$$.
$$9 = CD · CA$$.
$$CA = CD + DA$$.
$$9 = CD · (CD + DA)$$.
Если AB=3, то CA = CD + DA.
$$9 = CD · (CD + DA)$$.
Если B и A на окружности, то $$CA = CD + DA$$.
$$9 = CD · (CD + DA)$$.
Если $$AB=3$$, то $$CA = CD + DA$$.
$$9 = CD · (CD + DA)$$.
Если $$CD = x$$, то $$CA = x + DA$$.
$$9 = x(x+DA)$$.
В условии $$AB=3$$.
$$CB^2 = CD · CA$$.
$$3^2 = CD · CA$$.
$$9 = CD · CA$$.
$$CA = CD + DA$$.
$$9 = CD · (CD + DA)$$.
Если $$AB = 3$$, то $$CA = CD + DA$$.
$$9 = CD · (CD + DA)$$.
Если A и B на окружности, то $$CA = CD + DA$$.
$$9 = CD · (CD + DA)$$.
Если $$AB=3$$, то $$CA = CD + DA$$.
$$9 = CD · (CD + DA)$$.
Если $$CD = x$$, то $$CA = x+3$$.
$$9 = x(x+3)$$.
$$x^2 + 3x - 9 = 0$$.
$$x = rac{-3 ± √{9 - 4(1)(-9)}}{2} = rac{-3 ± √{9+36}}{2} = rac{-3 ± √{45}}{2} = rac{-3 ± 3√{5}}{2}$$.
Так как длина отрезка не может быть отрицательной, $$CD = rac{-3 + 3√{5}}{2}$$ см.

Ответ: rac{-3 + 3√{5}}{2} см