4. К окружности с центром О проведена касательная АВ, где А — точка касания. Найдите углы треугольника АОВ, если угол АОВ в 5 раз больше, чем угол АВО.

Решение:

Дано: Окружность с центром О. Касательная АВ, А — точка касания. ∠АОВ = 5 * ∠АВО.

Найти: Углы ∠АОВ, ∠АВО, ∠ВАО.

1. Свойство касательной: Радиус, проведенный к точке касания, перпендикулярен касательной. Следовательно, ∠ВАО = 90°.
2. Сумма углов в треугольнике: Сумма углов в любом треугольнике равна 180°. В треугольнике АОВ: ∠АОВ + ∠АВО + ∠ВАО = 180°.
3. Подстановка известных значений: Мы знаем, что ∠АОВ = 5 * ∠АВО и ∠ВАО = 90°. Подставим это в уравнение: (5 * ∠АВО) + ∠АВО + 90° = 180°.
4. Решение уравнения:
   • 6 * ∠АВО = 180° - 90°
   • 6 * ∠АВО = 90°
   • ∠АВО = 90° / 6
   • ∠АВО = 15°
5. Нахождение угла ∠АОВ: ∠АОВ = 5 * ∠АВО = 5 * 15° = 75°.

Проверка: 75° + 15° + 90° = 180°. Все верно.

Ответ: ∠АВО = 15°, ∠АОВ = 75°, ∠ВАО = 90°.