4. Какие из чисел больше: 1) \(\sqrt{0{,}999}\) или \(0{,}999\); 2) \(\sqrt{2007}+\sqrt{2009}\) или \(2\sqrt{2008}\); 3) \(\sqrt[3]{10000}\) или \(21\); 4) \(\frac{1+\sqrt2}{1-\sqrt2}\) или \(2\sqrt2-3\)?

1. Так как \(0<0{,}999<1\), для такого числа его квадратный корень больше самого числа. Поэтому \(\sqrt{0{,}999}>0{,}999\).
2. Функция \(\sqrt{x}\) вогнута, поэтому сумма значений в симметричных точках меньше удвоенного значения в их середине: \(\sqrt{2007}+\sqrt{2009}<2\sqrt{2008}\).
3. \(21^3=9261<10000\), значит, \(\sqrt[3]{10000}>21\).
4. Рационализируем дробь: \(\frac{1+\sqrt2}{1-\sqrt2}=\frac{(1+\sqrt2)^2}{1-2}=-3-2\sqrt2\). Сравниваем с \(2\sqrt2-3\): разность второго числа и первого равна \(4\sqrt2>0\). Значит, \(2\sqrt2-3\) больше.

Ответ: 1) \(\sqrt{0{,}999}\); 2) \(2\sqrt{2008}\); 3) \(\sqrt[3]{10000}\); 4) \(2\sqrt2-3\).