4. Каким выражением можно заменить звёздочку в равенстве 4x + 3 = 6x + *, чтобы получилось уравнение: 1) не имеющее корней; 2) имеющее бесконечно много корней; 3) имеющее один корень?

Подберём выражения так, чтобы после подстановки уравнение стало соответственно противоречием, тождеством и уравнением с единственным решением.

1. Пусть * = −2x. Тогда 4x + 3 = 6x − 2x, то есть 4x + 3 = 4x. Получаем 3 = 0 — корней нет.
2. Пусть * = −2x + 3. Тогда 4x + 3 = 6x − 2x + 3, то есть 4x + 3 = 4x + 3. Равенство верно при любом x — корней бесконечно много.
3. Пусть * = x. Тогда 4x + 3 = 7x, откуда 3 = 3x и x = 1. Корень один.

Ответ: 1) −2x; 2) −2x + 3; 3) x.