Решение:
Определим, какие сложные прилагательные пишутся через дефис:
- шахматно-шашечный — сложные прилагательные, образованные от сочинительных словосочетаний, пишутся через дефис.
- железнодорожный — сложное прилагательное, образовано от подчинительного словосочетания «дорога на железной тяге», пишется слитно.
- хлопчатобумажный — сложное прилагательное, образовано от подчинительного словосочетания «бумажный из хлопка», пишется слитно.
- древнерусский — сложное прилагательное, образовано от подчинительного словосочетания «русский в древности», пишется слитно.
Ответ: 1) шахматно-шашечный