4. Касательные в точках А и В к окружности с центром О пересекаются под углом 18°. Найдите угол АВО. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Пусть касательные к окружности в точках A и B пересекаются в точке C. По условию \( \angle ACB = 18^{\circ} \).

\( OA \perp AC \) и \( OB \perp BC \), так как радиусы, проведенные в точки касания, перпендикулярны касательным. Следовательно, \( \angle OAC = 90^{\circ} \) и \( \angle OBC = 90^{\circ} \).

Рассмотрим четырехугольник \( OACB \). Сумма углов в четырехугольнике равна \( 360^{\circ} \).

\( \angle AOB + \angle OAC + \angle ACB + \angle OBC = 360^{\circ} \)

\( \angle AOB + 90^{\circ} + 18^{\circ} + 90^{\circ} = 360^{\circ} \)

\( \angle AOB + 198^{\circ} = 360^{\circ} \)

\( \angle AOB = 360^{\circ} - 198^{\circ} = 162^{\circ} \).

Рассмотрим \( \triangle OAB \). \( OA = OB \) (радиусы окружности), поэтому \( \triangle OAB \) — равнобедренный.

Углы при основании равнобедренного треугольника равны: \( \angle OAB = \angle OBA \).

Сумма углов в \( \triangle OAB \) равна \( 180^{\circ} \).

\( \angle OAB + \angle OBA + \angle AOB = 180^{\circ} \)

\( 2 \cdot \angle OBA + 162^{\circ} = 180^{\circ} \)

\( 2 \cdot \angle OBA = 180^{\circ} - 162^{\circ} \)

\( 2 \cdot \angle OBA = 18^{\circ} \)

\( \angle OBA = 18^{\circ} / 2 = 9^{\circ} \).

Угол \( \angle ABO \) — это тот же угол \( \angle OBA \).

Ответ: 9.