4. \(\left(\frac{b+1}{b-1}-\frac{b}{b+1}\right):\frac{3b+1}{2b-2}\). Упростить выражение.

ОДЗ: \(b-1\ne0\), \(b+1\ne0\), \(3b+1\ne0\). Поэтому \(b\ne1\), \(b\ne-1\), \(b\ne-\frac13\).

1. Приведём разность дробей к общему знаменателю:

   \[\frac{b+1}{b-1}-\frac{b}{b+1}=\frac{(b+1)^2-b(b-1)}{(b-1)(b+1)}.\]

2. Раскроем скобки и упростим числитель:

   \[(b+1)^2-b(b-1)=b^2+2b+1-b^2+b=3b+1.\]

   Значит, выражение имеет вид:

   \[\frac{3b+1}{(b-1)(b+1)}:\frac{3b+1}{2(b-1)}.\]

3. Заменим деление умножением на обратную дробь и сократим:

   \[\frac{3b+1}{(b-1)(b+1)}\cdot\frac{2(b-1)}{3b+1}=\frac{2}{b+1}.\]

Ответ: \(\frac{2}{b+1}\), \(b\ne1,-1,-\frac13\).