4) \(\log_{x-1}(x^2+7x+41)=2\)

Для основания логарифма необходимо \(x-1>0\) и \(x-1\ne1\), то есть \(x>1\) и \(x\ne2\).

По определению логарифма \(x^2+7x+41=(x-1)^2\). Раскроем скобки и сократим \(x^2\): \(7x+41=-2x+1\), откуда \(9x=-40\) и \(x=-\frac{40}{9}\).

Полученное значение не удовлетворяет условию \(x>1\), поэтому решений нет.

Ответ: решений нет.