4. (макс. Кол-во баллов 6 баллов) Задана зависимость между выработкой продукции на одного работника и удельного веса рабочих высокой квалификации: X 32 30 36 40 41 47 56 54 y 20 26 28 30 31 33 34 37 Найти уравнение парной регрессии (х от у и у от х). Оценить тесноту и направление связи с помощью коэффициента корреляции, проверить его значимость. Сделать выводы.

Решение:

Для решения задачи проведем расчеты, необходимые для построения уравнений парной регрессии и коэффициента корреляции.

1. Расчет основных показателей

Предположим, что количество наблюдений \( n = 8 \). Данные представлены в таблице:

Вычислим:

• Средние значения:
• \( \bar{x} = \frac{\sum x_i}{n} = \frac{32+30+36+40+41+47+56+54}{8} = \frac{336}{8} = 42 \)
• \( \bar{y} = \frac{\sum y_i}{n} = \frac{20+26+28+30+31+33+34+37}{8} = \frac{249}{8} \approx 31.125 \)
• Суммы квадратов отклонений:
• \( \sum (x_i - \bar{x})^2 = (32-42)^2 + (30-42)^2 + (36-42)^2 + (40-42)^2 + (41-42)^2 + (47-42)^2 + (56-42)^2 + (54-42)^2 \)
• \( = (-10)^2 + (-12)^2 + (-6)^2 + (-2)^2 + (-1)^2 + 5^2 + 14^2 + 12^2 \)
• \( = 100 + 144 + 36 + 4 + 1 + 25 + 196 + 144 = 650 \)
• \( \sum (y_i - \bar{y})^2 = (20-31.125)^2 + (26-31.125)^2 + (28-31.125)^2 + (30-31.125)^2 + (31-31.125)^2 + (33-31.125)^2 + (34-31.125)^2 + (37-31.125)^2 \)
• \( = (-11.125)^2 + (-5.125)^2 + (-3.125)^2 + (-1.125)^2 + (-0.125)^2 + (1.875)^2 + (2.875)^2 + (5.875)^2 \)
• \( \approx 123.7656 + 26.2656 + 9.7656 + 1.2656 + 0.0156 + 3.5156 + 8.2656 + 34.5156 \approx 207.37 \)
• Сумма произведений отклонений:
• \( \sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y}) = (32-42)(20-31.125) + (30-42)(26-31.125) + (36-42)(28-31.125) + (40-42)(30-31.125) + (41-42)(31-31.125) + (47-42)(33-31.125) + (56-42)(34-31.125) + (54-42)(37-31.125) \)
• \( = (-10)(-11.125) + (-12)(-5.125) + (-6)(-3.125) + (-2)(-1.125) + (-1)(-0.125) + (5)(1.875) + (14)(2.875) + (12)(5.875) \)
• \( = 111.25 + 61.5 + 18.75 + 2.25 + 0.125 + 9.375 + 40.25 + 70.5 = 314.0 \)

2. Уравнение парной регрессии y от x (\( y = a_0 + a_1x \))

Коэффициенты регрессии:

• \( a_1 = \frac{\sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sum (x_i - \bar{x})^2} = \frac{314.0}{650} \approx 0.483 \)
• \( a_0 = \bar{y} - a_1\bar{x} = 31.125 - 0.483 \times 42 \approx 31.125 - 20.286 \approx 10.839 \)

Уравнение регрессии \( y \) от \( x \): \( y = 10.839 + 0.483x \)

3. Уравнение парной регрессии x от y (\( x = b_0 + b_1y \))

Коэффициенты регрессии:

• \( b_1 = \frac{\sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sum (y_i - \bar{y})^2} = \frac{314.0}{207.37} \approx 1.514 \)
• \( b_0 = \bar{x} - b_1\bar{y} = 42 - 1.514 \times 31.125 \approx 42 - 47.115 \approx -5.115 \)

Уравнение регрессии \( x \) от \( y \): \( x = -5.115 + 1.514y \)

4. Оценка тесноты и направления связи (коэффициент корреляции Пирсона)

Коэффициент корреляции \( r \):

• \( r = \frac{\sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sqrt{\sum (x_i - \bar{x})^2 \cdot \sum (y_i - \bar{y})^2}} = \frac{314.0}{\sqrt{650 \cdot 207.37}} = \frac{314.0}{\sqrt{134790.5}} \approx \frac{314.0}{367.135} \approx 0.855 \)

5. Проверка значимости коэффициента корреляции

Нулевая гипотеза \( H_0 \): \( r = 0 \) (отсутствие линейной связи). \( H_1 \): \( r \neq 0 \).

Рассчитаем t-статистику:

• \( t = r \sqrt{\frac{n-2}{1-r^2}} = 0.855 \sqrt{\frac{8-2}{1-0.855^2}} = 0.855 \sqrt{\frac{6}{1-0.731}} = 0.855 \sqrt{\frac{6}{0.269}} \approx 0.855 \sqrt{22.305} \approx 0.855 \times 4.723 \approx 4.037 \)

Для \( n-2 = 6 \) степеней свободы и уровня значимости \( \alpha = 0.05 \), критическое значение \( t_{крит} \) (двусторонний тест) составляет приблизительно 2.447.

Так как \( |t| = 4.037 > t_{крит} = 2.447 \), мы отвергаем нулевую гипотезу. Коэффициент корреляции статистически значим.

6. Выводы

• Уравнение регрессии \( y \) от \( x \): \( y = 10.839 + 0.483x \). Это означает, что при увеличении выработки продукции на одного работника (\( x \)) на 1 балл, удельный вес рабочих высокой квалификации (\( y \)) в среднем увеличивается на 0.483 балла.
• Уравнение регрессии \( x \) от \( y \): \( x = -5.115 + 1.514y \). Это означает, что при увеличении удельного веса рабочих высокой квалификации (\( y \)) на 1 балл, выработка продукции на одного работника (\( x \)) в среднем увеличивается на 1.514 балла.
• Коэффициент корреляции \( r \approx 0.855 \) указывает на сильную положительную линейную связь между выработкой продукции на одного работника и удельным весом рабочих высокой квалификации.
• Статистическая значимость коэффициента корреляции подтверждает, что наблюдаемая связь не случайна.

Общий вывод: существует тесная положительная линейная зависимость между выработкой продукции на одного работника и удельным весом рабочих высокой квалификации. Увеличение одного показателя ведет к увеличению другого.