4. Марина подбрасывает монету до тех пор, пока орёл или решка не выпадет 2 раза подряд. Найдите математическое ожидание числа бросков.

Обозначим через \(E_0\) среднее число оставшихся бросков, когда предыдущего броска ещё нет, а через \(E_1\) — когда уже выпала одна сторона и нужно получить такое же значение подряд.

Из состояния без предыдущего броска делаем один бросок, после чего оказываемся в состоянии \(E_1\): \(E_0=1+E_1\).

Из состояния \(E_1\) следующий бросок с вероятностью \(1/2\) завершает ожидание, а с вероятностью \(1/2\) выпадает другая сторона и ожидание начинается заново из состояния \(E_1\): \(E_1=1+\frac12 E_1\).

Решаем уравнение: \(\frac12 E_1=1\), поэтому \(E_1=2\). Тогда \(E_0=1+2=3\).

Ответ: 3 броска.