4) Медиана ВМ треугольника АВС является диаметром окружности, пересекающей сторону ВС в её середине. Найдите этот диаметр, если диаметр описанной около треугольника АВС окружности равен 10.

Решение:

1. Теорема: Если медиана треугольника является диаметром описанной окружности, то этот треугольник прямоугольный.
2. Условие задачи: Медиана ВМ является диаметром окружности, пересекающей сторону ВС в её середине.
3. Следствие: Если медиана треугольника является диаметром описанной окружности, то треугольник прямоугольный, и медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.
4. Дано: Диаметр описанной около \( \triangle ABC \) окружности равен 10.
5. Найти: Диаметр окружности, для которой медиана ВМ является диаметром.
6. Размышление: В условии сказано, что медиана ВМ является диаметром окружности, пересекающей сторону ВС в её середине. Это означает, что центр этой окружности лежит на медиане ВМ, и эта окружность проходит через середину ВС.
7. Ключевой момент: Если медиана треугольника является диаметром описанной окружности, то этот треугольник является прямоугольным, и гипотенуза является диаметром описанной окружности.
8. Условие задачи: «Медиана ВМ треугольника АВС является диаметром окружности, пересекающей сторону ВС в её середине». Это утверждение не означает, что ВМ является диаметром окружности, описанной около \( \triangle ABC \).
9. Новое понимание: Окружность, диаметром которой является медиана ВМ, проходит через середину стороны ВС.
10. Свойство медианы прямоугольного треугольника: В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.
11. Связь с задачей: Если \( \triangle ABC \) прямоугольный (угол B = 90°), то АС - гипотенуза, и медиана ВМ = \( \frac{1}{2} AC \).
12. Информация из условия: Диаметр описанной около \( \triangle ABC \) окружности равен 10. Это означает, что гипотенуза АС = 10.
13. Вычисление: Если АС = 10, то медиана ВМ = \( \frac{1}{2} \cdot 10 = 5 \).
14. Вывод: Если медиана ВМ является диаметром окружности, то диаметр этой окружности равен длине медианы ВМ.

Ответ: Диаметр окружности равен 5.