4. Меньшая диагональ ромба равна 12 см, а один из углов — 60°. Найдите вторую диагональ и сторону ромба.

Решение:

1. Свойства ромба:

   Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делятся пополам. Углы ромба при вершинах равны, противолежащие равны. Диагонали делят углы ромба пополам.

2. Рассмотрим треугольник, образованный диагоналями и стороной:

   Диагонали делят ромб на четыре равных прямоугольных треугольника. Пусть меньшая диагональ \( d_1 = 12 \) см, тогда ее половина равна 6 см. Один из углов ромба равен 60°, значит, диагональ, исходящая из этой вершины, делит его пополам, образуя угол 30° в прямоугольном треугольнике.

3. Находим вторую диагональ:

   В прямоугольном треугольнике катет, лежащий напротив угла в 30°, равен половине гипотенузы. Здесь половина меньшей диагонали (6 см) является катетом, противолежащим углу 30°. Пусть \( \alpha = 60° \). Диагонали пересекаются под углом 90°. Углы при вершине \( 60° \) делятся пополам, то есть по 30°. Углы при другой вершине \( 120° \) делятся пополам, то есть по 60°. В прямоугольном треугольнике, образованном половинами диагоналей и стороной ромба, один из острых углов равен 30°. Половина меньшей диагонали \( \frac{d_1}{2} = 6 \) см. Тогда \( an(30°) = rac{6}{d_2/2} \). \( rac{1}{\sqrt{3}} = rac{12}{d_2} \), \( d_2 = 12\sqrt{3} \) см.

4. Находим сторону ромба:

   В том же прямоугольном треугольнике, используя теорему Пифагора: \( a^2 = (\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2 \) \( a^2 = 6^2 + (6\sqrt{3})^2 \) \( a^2 = 36 + 36 \times 3 \) \( a^2 = 36 + 108 \) \( a^2 = 144 \) \( a = \sqrt{144} \) \( a = 12 \) см.

Ответ: Вторая диагональ — \( 12\sqrt{3} \) см, сторона ромба — 12 см.