4. Мяч брошен с поверхности земли под углом 45° к горизонту со скоростью 20 м/с. Определите наибольшую высоту подъёма, дальность полёта, скорость в наивысшей точке траектории, скорость и координаты мяча через 2 с после начала движения.

Примем ускорение свободного падения \(g=10\) м/с², начало координат — в точке броска, ось \(Ox\) направлена горизонтально, ось \(Oy\) — вертикально вверх.

Дано: \(v_0=20\) м/с, \(\alpha=45^\circ\).

Разложим начальную скорость на составляющие:

\[v_{0x}=v_0\cos45^\circ=10\sqrt2\text{ м/с},\qquad v_{0y}=v_0\sin45^\circ=10\sqrt2\text{ м/с}.\]

1. Наибольшая высота подъёма:

   \[H_{\max}=\frac{v_{0y}^2}{2g}=\frac{(10\sqrt2)^2}{20}=10\text{ м}.\]

2. Дальность полёта:

   Время полёта:

   \[T=\frac{2v_{0y}}{g}=\frac{20\sqrt2}{10}=2\sqrt2\text{ с}.\]

   Тогда дальность:

   \[L=v_{0x}T=10\sqrt2\cdot2\sqrt2=40\text{ м}.\]

3. Скорость в наивысшей точке:

   В наивысшей точке вертикальная составляющая скорости равна нулю, поэтому скорость равна горизонтальной составляющей:

   \[v_{\text{верх}}=v_{0x}=10\sqrt2\approx14{,}1\text{ м/с}.\]

4. Скорость и координаты через \(t=2\) с:

   Координаты:

   \[x=v_{0x}t=10\sqrt2\cdot2=20\sqrt2\approx28{,}3\text{ м},\]

   \[y=v_{0y}t-\frac{gt^2}{2}=10\sqrt2\cdot2-\frac{10\cdot2^2}{2}=20\sqrt2-20\approx8{,}3\text{ м}.\]

   Составляющие скорости:

   \[v_x=v_{0x}=10\sqrt2\text{ м/с},\]

   \[v_y=v_{0y}-gt=10\sqrt2-20\approx-5{,}9\text{ м/с}.\]

   Модуль скорости:

   \[v=\sqrt{v_x^2+v_y^2}=\sqrt{(10\sqrt2)^2+(10\sqrt2-20)^2}\approx15{,}3\text{ м/с}.\]

Ответ: \(H_{\max}=10\) м; \(L=40\) м; скорость в наивысшей точке \(10\sqrt2\approx14{,}1\) м/с; через 2 с координаты \((x,y)=(20\sqrt2;20\sqrt2-20)\approx(28{,}3;8{,}3)\) м, скорость \(\vec v=(10\sqrt2;10\sqrt2-20)\) м/с, её модуль \(v\approx15{,}3\) м/с.