4) На боковых сторонах AB и BC и основании AC равнобедренного треугольника ABC отмечены точки M, N, P так, что середины отрезков CM и NP совпадают. Известно, что ∠B = 40°. Докажите, что ∠A = ∠PMN. Вычислите градусную меру угла NMP.

Обозначим через O общую середину отрезков CM и NP. Тогда из равенства векторов, соединяющих середины, следует:

\(\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OM}\), \(\overrightarrow{ON}=\overrightarrow{OP}\), поэтому \(\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{NP}\).

Следовательно, четырёхугольник CMNP является параллелограммом: его диагонали CM и NP пересекаются и делятся пополам. Поэтому \(MP\parallel CN\).

Так как \(M\in AB\), луч \(AM\) совпадает с лучом \(AB\), а \(P\in AC\), луч \(AP\) совпадает с лучом \(AC\). Кроме того, \(MP\parallel CN\), причём \(CN\) лежит на стороне \(CB\).

Следовательно, углы при параллельных и соответственно направленных сторонах равны:

\(\angle PMN=\angle A\).

В равнобедренном треугольнике \(ABC\) стороны \(AB\) и \(BC\) равны, поэтому углы при основании равны:

\(\angle A=\angle C=\dfrac{180^\circ-\angle B}{2}=\dfrac{180^\circ-40^\circ}{2}=70^\circ\).

Угол \(NMP\) и угол \(PMN\) — это один и тот же угол с вершиной \(M\), образованный лучами \(MN\) и \(MP\). Поэтому

Ответ: \(\angle NMP=70^\circ\).