4. На боковых сторонах AB и BC равнобедренного треугольника ABC отметили соответственно точки M и K так, что ∠BAK = ∠BCM. Докажите, что BM = BK.

Дано: треугольник ABC равнобедренный, AB = BC, ∠BAK = ∠BCM. Нужно доказать, что BM = BK.

1. Рассмотрим треугольники ABK и CBM.
2. AB = BC, так как треугольник ABC равнобедренный.
3. ∠BAK = ∠BCM, по условию.
4. ∠ABK = ∠CBM, так как это углы при основании равнобедренного треугольника ABC.
5. Следовательно, треугольники ABK и CBM равны по стороне и двум прилежащим к ней углам (по второму признаку равенства треугольников).
6. Из равенства треугольников следует, что BK = BM (как соответственные стороны равных треугольников).

Ответ: BM = BK, что и требовалось доказать.