4. На числовой прямой отмечены числа a и b. Отметьте на прямой какую-нибудь точку x так, чтобы при этом выполнялись три условия: x-a>0, x-b<0 и a^2x>0.

Решение:

Из условий имеем:

• $$x - a > 0 → x > a$$
• $$x - b < 0 → x < b$$
• $$a^2x > 0$$. Так как $$a^2$$ всегда больше нуля (при условии, что $$a \neq 0$$), то $$x > 0$$.

Итак, нам нужно найти такое $$x$$, чтобы $$a < x < b$$ и $$x > 0$$. Это значит, что $$x$$ должно быть больше нуля и находиться между $$a$$ и $$b$$. Это возможно, если $$0 < a < b$$.

На рисунке видно, что $$a$$ находится правее $$0$$, а $$b$$ находится правее $$a$$. Значит $$0 < a < b$$.

Поэтому любое число $$x$$, такое что $$0 < x < b$$ и $$x > a$$, будет удовлетворять условиям. Например, можно выбрать $$x$$ как среднее арифметическое между $$a$$ и $$0$$, если $$a>0$$. Или любое число между $$a$$ и $$b$$.

Пример: Можно выбрать $$x$$ как середину отрезка $$[a, b]$$.

Ответ: Любое число $$x$$, такое что $$a < x < b$$. На рисунке это будет точка между $$a$$ и $$b$$.