4. На клетчатой бумаге с размером клетки 1 × 1 отмечено девять точек. Проведите биссектрису угла AFB. Сколько отмеченных точек, отличных от точек А, Е и В, лежит на биссектрисе угла AFB?

Решение:

Для решения этой задачи необходимо определить координаты точек и найти биссектрису угла AFB. Затем проверим, какие из отмеченных точек лежат на этой биссектрисе.

1. Координаты точек:

Предположим, что точка D находится в начале координат (0,0). Тогда:

• A = (1, 3)
• F = (1, 1)
• B = (3, 1)
• E = (0, 1)
• G = (3, 0)
• C = (3, 3)
• H = (0, 3)
• У нас есть 9 точек, включая A, E, F, B, C, G, H, D.

2. Угол AFB:

• Вектор FA = A - F = (1-1, 3-1) = (0, 2)
• Вектор FB = B - F = (3-1, 1-1) = (2, 0)
• Угол между этими векторами очевидно равен 90 градусов, так как один вектор направлен по вертикали, а другой по горизонтали.

3. Биссектриса угла AFB:

• Так как угол AFB прямой (90°), его биссектриса будет образовывать угол 45° с каждым из его лучей.
• Биссектриса будет проходить через точку F (1, 1) и иметь наклон 1 (y = x + b).
• Подставляем координаты F: 1 = 1 + b, значит b = 0.
• Уравнение биссектрисы: y = x.

4. Проверка точек на биссектрисе:

• Точка A (1, 3): 3 ≠ 1. Не лежит.
• Точка F (1, 1): 1 = 1. Лежит (это вершина угла).
• Точка B (3, 1): 1 ≠ 3. Не лежит.
• Точка E (0, 1): 1 ≠ 0. Не лежит.
• Точка G (3, 0): 0 ≠ 3. Не лежит.
• Точка C (3, 3): 3 = 3. Лежит.
• Точка H (0, 3): 3 ≠ 0. Не лежит.
• Точка D (0, 0): 0 = 0. Лежит.

5. Исключение заданных точек:

• Точки, отличные от А, Е и В, которые лежат на биссектрисе: C и D.
• Таким образом, 2 точки (C и D) лежат на биссектрисе угла AFB, не считая точек A, E, B.

Ответ: 2